Notação científica e algarismos significativos

Conta-se que o matemático e astrônomo Arthur Eddington iniciou uma de suas aulas dizendo que havia encontrado o número total de elétrons no universo que seria igual ao número de prótons e deveria valer:

“15 747 724 136 275 002 577 605 653 961 181 555 468 044 717 914 527 116 709 366 231 425 076 185 631 031 296”.

Embora suas idéias não tenham sido bem aceitas no meio científico, este exemplo serve pelo menos para chamar a atenção para a importância de se usar uma notação conveniente quando lidamos com números muito grandes ou muito pequenos. O número de Eddington é igual a 2 x 136 x 2²⁵⁶

A notação científica

Corresponde a um número entre 1 e 10 multiplicado por uma potência de 10.

x . 10ⁿ (onde 1 ≤ x < 10)

Escrito em Notação Científica, o nº de Eddington seria igual a 1,6 . 10⁷⁹.

A velocidade da luz no vácuo vale aproximadamente 3 . 10⁸ m/s.
A constante gravitacional vale G = 6,7 . 10^-11N.m²/kg².
A carga elétrica elementar vale Q = ± 1,6 . 10^-19C.

Ordem de grandeza

A ordem de grandeza de um número é a potência de 10 mais próxima do resultado encontrado, em casos onde não nos interessa ou não é possível obter o resultado exato.

Tomemos como exemplo o número 65. Apesar de ser 6,5 . 10¹ em notação científica, sua ordem de grandeza é 10² e não 10¹ como poderia parecer à primeira vista. Basta uma rápida análise para verificarmos que o nº 65 está mais próximo de 100 do que de 10.

A técnica adotada por nós é simples e leva em conta a média entre 1 e 10 (que é o intervalo de valores que podem ser assumidos pelo número X que multiplica a potência de 10 na notação científica) que vale 5,5.

Escrevemos o número em notação científica e observamos o valor do número X que multiplica a potência de 10:

Se o X ≥ 5,5 a ordem de grandeza vale 10ⁿ⁺¹

Se o X < 5,5 a ordem de grandeza vale 10ⁿ

Exemplo

1) A ordem de grandeza do número de segundos contidos em um século.

100 anos ~ 10⁹ segundos

(da ordem de)

1 ano-luz corresponde à distância percorrida pela luz no vácuo em 1 ano.

Logo 1 ano-luz ~ 3 . 10⁷s x 3 . 10¹⁰cm/s ~ 9 . 10¹⁷cm. A ordem de grandeza vale 10¹⁸cm.

Algarismos significativos

Ao fazermos uma medida com um determinado instrumento, estamos sujeitos a incertezas no valor obtido.

Dizemos que a nossa medida possui apenas algarismos significativos quando ela apresentar os algarismos que nós temos certeza mais o primeiro algarismo duvidoso.

Vamos medir o objeto abaixo utilizando a régua disponível:

Os resultados 4,6cm ou 4,7cm são aceitáveis, pois nós temos certeza do algarismo 4, porém os algarismos 6 e 7 são duvidosos e correspondem a uma estimativa de quem está medindo. Portanto, 4,6cm e 4,7cm são boas medidas e possuem apenas 2 algarismos significativos. Se, no entanto, alguém propuser um valor igual a 4, 658cm para o objeto acima, usando a régua disponível, diremos que esta é uma medida ridícula. Utilizando uma régua cuja menor divisão é o centímetro, não faz o menor sentido medir o objeto em milésimos de centímetro. Os algarismos 5 e 8 não possuem significado nenhum. Não são significativos.

Agora, se usarmos uma régua com divisões em milímetros como no exemplo acima, é razoável dizer que o comprimento do objeto vale 4,68cm, onde somente o 8 é duvidoso. Temos agora o comprimento do objeto com 3 algarismos significativos ao invés de 2 do exemplo anterior.

Dicas importantes

·         O algarismo 0 (zero) quando serve apenas para localizar a vírgula decimal não é significativo

0 , 0 0 0 6 0 5 2 8

não são significativos

Já ouviu falar na expressão “zero à esquerda”?

·         As medidas 3,2m e 3,200m do ponto de vista matemático são iguais, no entanto possuem significados físicos diferentes. A medida 3,200m possui 4 algarismos significativos sendo portanto muito mais precisa que a medida 3,2m que possui apenas 2 algarismos significativos.

Na prática, como o instrumento usado para efetuar a medida 3,2m é menos preciso do que o que mediu 3,200m, a primeira medida carrega consigo um erro de medida muito maior que irá se propagar quando a medida for utilizada em qualquer outro cálculo.

·         Quando efetuamos operações matemáticas com grandezas devemos sempre levar em conta o número de algarismos significativos para não sobrecarregarmos inutilmente nossas operações. Aqui no Delta Teta, utilizaremos a seguinte regra de arredondamento:

Observamos o algarismo imediatamente após o algarismo a ser arredondado. Se for maior ou igual a 5 arredondamos para cima. Se for menor que 5 arredondamos para baixo.

·         Ao somarmos ou subtrairmos grandezas, o número de casas decimais do resultado deve ser igual ao menor número de casas decimais encontrados entre os termos adicionados.

este é o algarismo a ser arredondado. O resultado correto desta soma deverá ser 101,3.

·         Na multiplicação e na divisão de medidas, o número de algarismos significativos no resultado é igual ao menor número de algarismos significativos encontrados entre as medidas multiplicadas (ou divididas).

34,21 x 0,010 x 2,10 = 0,71841 = 0,72

4 signific 2 signific 3 signific 2 signific

O sistema internacional (SI) de unidades

As unidades do S.I. formam 3 grupos:

As unidades de base, são elas:

Grandeza	Unidade	Símbolo
Comprimento	metro	m
Massa	quilograma	kg
Tempo	segundo	s
Corrente elétrica	ampère	A
Temperatura termodinâmica	kelvin	K
Quantidade de matéria	mol	mol
Intensidade luminosa	candela	cd

As unidades suplementares, são elas:

Grandeza Unidade Símbolo Área metro quadrado m² Volume metro cúbico m³ Número de onda por metro 1/m Densidade de massa quilograma por metro cúbico kg/m³ Concentração mol por metro cúbico mol/m³ Volume específico metro cúbico por quilograma m³/kg Velocidade metro por segundo m/s Aceleração metro por segundo ao quadrado m/s² Densidade de corrente ampère por metro ao quadrado A/m² Campo magnético ampère por metro A/m

As unidades derivadas, são elas:

Grandeza	Unidade	Símbolo	Dimensional analítica	Dimensional sintética
Velocidade angular	radiano por segundo	rad/s	1/s	Hz
Aceleração angular	radiano por segundo por segundo	rad/s²	1/s²	Hz²
Momento de força	newton metro	N·m	kg·m²/s²	—-
Densidade de carga	coulomb por metro cúbico	C/m³	A·s/m³	—-
Campo elétrico	volt por metro	V/m	kg·m/(s³·A)	W/(A·m)
Entropia	joule por kelvin	J/K	kg·m²/(s²·K)	N·m/K
Calor específico	joule por quilograma por kelvin	J/(kg·K)	m²/(s²·K)	N·m/(K·kg)
Condutividade térmica	watt por metro por kelvin	W/(m·K)	kg·m/(s³·K)	J/(s·m·K)
Intensidade de radiação	watt por esferorradiano	W/sr	kg·m²/(s³·sr)	J/(s·sr)